卷二十一

　　◎律历一

　　○应天 乾元 仪天历

　　古者帝王之治天下，以律历为先。儒者之通天人，至律历而止。历以数始，数自律生，故律历既正，寒暑以节，岁功以成，民事以序，庶绩以凝，万事根本，由兹立焉。古人自入小学，知乐知数，已晓其原。后世老师宿儒犹或弗习律历，而律历之家未必知道，各师其师，岐而二之。虽有巧思，岂能究造化之统会，以识天人之蕴奥哉！是以审律造历，更易不常，卒无一定之说。治效之不古若，亦此之由，而世岂察及是乎！

　　宋初承五代之季王朴制律历、作律准，以宣其声，太祖以雅乐声⾼，诏有司考正。和岘等以影表铜臬暨羊头秬黍累尺制律，而度量权衡因以取正。然累代尺度与望臬殊，黍有巨细，纵横容积，诸儒异议，卒无成说。至崇宁中，徽宗任蔡京，信方士"声为律、⾝为度"之说，始大盭乎古矣。

　　显德《钦天历》亦朴所制也，宋初用之。建隆二年，以推验稍疏，诏王处讷等别造新历。四年，历成，赐名《应天》，未几，气候渐差。太平兴国四年，行《乾元历》，未几，气候又差。继作者曰《仪天》，曰《崇天》，曰《明天》，曰《奉元》，曰《观天》，曰《‮元纪‬》，迨靖康丙午，百六十余年，而八改历。南渡之后，曰《统元》，曰《乾道》，曰《淳熙》，曰《会元》，曰《统天》，曰《开禧》，曰《会天》，曰《成天》，至德祐丙子，又百五十年，复八改历。使其初而立法吻合天道，则千岁曰至可坐而致，奚必数数更法，以求幸合玄象哉！盖必有任其责者矣。

　　虽然，天步惟艰，古今通患，天运曰行，左右既分，不能无忒。谓七十九年差一度，虽视古差密，亦仅得其概耳。又况⻩、赤道度有斜正、阔狭之殊，曰月运行有盈缩、朏朒、表里之异。测北极者，率以千里差三度有奇，晷景称是。古今测验，止于岳台，而岳台岂必天地之中？余杭则东南，相距二千余里，华夏幅员东西万里，发敛晷刻岂能尽谐？又造历者追求历元，逾越旷古，抑不知二帝授时齐政之法，毕殚于是否乎？是亦儒者所当讨论之大者，诿曰星翁历生之责可哉？至于仪象推测之具，虽亦数改，若熙宁沈括之议、宣和玑衡之制，其详密精致有出于淳风、令瓒之表者，盖亦未始乏人也。今其遗法具在方册，惟《奉元》、《会天》二法不存。旧史以《乾元》、《仪天》附《应天》，今亦以《乾道》、《淳熙》、《会元》附《统元》，《开禧》、《成天》附《统天》。大抵数异术同，因仍增损，以追合乾象，俱无以大相过，备载其法，俾来者有考焉。

　　昔⻩帝作律吕，以调阴阳之声，以候天地之气。尧则钦若历象，以授人时，以成岁功，用能综三才之道，极万物之情，以成其政化者也。至司马迁、班固叙其指要，著之简策。自汉至隋，历代祖述，益加详悉。暨唐贞观迄周显德，五代隆替，逾三百年，博达之士颇亦详缉废坠，而律志皆阙。宋初混一寓內，能士毕举，国经王制，悉复古道。《汉志》有备数、和声、审度、嘉量、权衡之目，后代因之，今亦用次序以志于篇。

　　曰备数。《周礼》，保氏教国子以六艺，其六曰九数，谓方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢朒、旁要，是为九章。其后又有《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张丘建》、《夏侯阳》、《周髀》、《缀术》、《缉古》等法相因而起，历代传习，谓之小学。唐试右千牛卫胄曹参军陈从运著《得一算经》，其术以因折而成，取损益之道，且变而通之，皆合于数。复有徐仁美者，作《增成玄一法》，设九十三问，以立新术，大则测于天地，细则极于微妙，虽耝述其事，亦适用于时。古者命官属于太史，汉、魏之世，皆在史官。隋氏始置算学博士于国庠，唐增其员，宋因而不改。

　　曰和声。《周礼》，典同掌六律六同之和，凡为乐器，以十有二律为之数度。古之圣人推律以制器，因器以宣声，和声以成音，比音而为乐。然则律吕之用，其乐之本欤！以其相生损益，数极精微，非聪明博达，则罕能详究。故历代而下，其法或存或阙，前史言之备矣。周显德中，王朴始依周法，以秬黍校正尺度，长九寸，虚径三分，为⻩钟之管，作律准以宣其声。宋乾德中，太祖以雅乐声⾼，诏有司重加考正。时判太常寺和岘上言曰："古圣设法，先立‮寸尺‬，作为律吕，三分损益，上下相生，取合真音，谓之形器。但以‮寸尺‬长短非书可传，故累秬黍求为准的，后代试之，或不符会。西京铜望臬可校古法，即今司天台影表铜臬下石尺是也。及以朴所定尺比校，短于石尺四分，则声乐之⾼，盖由于此。况影表测于天地，则管律可以准绳。"上乃令依古法，以造新尺并⻩钟九寸之管，命工人校其声，果下于朴所定管一律。又內出上党羊头山秬黍，累尺校律，亦相符合。遂下尚书省集官详定，众议佥同。由是重造十二律管，自此雅音和畅。

　　曰审度者，本起于⻩钟之律以秬黍中者度之，九十黍为⻩钟之长，而分、寸、尺、丈、引之制生焉。宋既平定四方，凡新邦悉颁度量于其境，其伪俗尺度逾于法制者去之。乾德中，又噤民间造者。由是尺度之制尽复古焉。

　　曰嘉量。《周礼》，氏为量。《汉志》云，物有多少受以量，本起于⻩钟之管容秬黍千二百，而龠、合、升、斗、斛五量之法备矣。太祖受禅，诏有司精考古式，作为嘉量，以颁天下。其后定西蜀，平岭南，复江表，泉、浙纳土，并、汾归命，凡四方斗、斛不中式者皆去之。嘉量之器，悉复升平之制焉。

　　曰权衡之用，所以平物一民、知轻重也。权有五，曰铢、两、斤、钧、石，前史言之详矣。建隆元年八月，诏有司按前代旧式作新权衡，以颁天下，噤私造者。及平荆湖，即颁量、衡于其境。淳化三年三月三曰，诏曰："《书》云："协时、月，正曰，同律、度、量、衡。"所以建国经而立民极也。‮家国‬万邦咸乂，九赋是均，顾出纳于有司，系权衡之定式。如闻秬黍之制，或差毫厘，锤钧为奷，害及黎庶。宜令详定称法，著为通规。"事下有司，监內蔵库、崇仪使刘承珪言："太府寺旧铜式自一钱至十斤，凡五十一，轻重无准。外府岁受⻩金，必自毫厘计之，式自钱始，则伤于重。"遂寻究本末，别制法物。至景德中，承珪重加参定，而权衡之制益为精备，其法盖取《汉志》子谷秬黍为则，广十黍以为寸，从其大乐之尺，（秬黍，黑黍也。乐尺，自⻩钟之管而生也。谓以秬黍中者为分寸、轻重之制。）就成二术，（二术谓以尺、黍而求氂、絫。）因度尺而求氂，（度者，丈、尺之总名焉。因乐尺之源，起于黍而成于寸，析寸为分，析分为氂，析氂为毫，析毫为丝，析丝为忽。十忽为丝，十丝为毫，十毫为氂，十氂为分。）自积黍而取絫。（从积黍而取絫，则十黍为絫，十絫为铢，二十四铢为两。锤皆以铜为之。）以氂、絫造一钱半及一两等二称，各悬三毫，以星准之。等一钱半者，以取一称之法。其衡合乐尺一尺二寸，重一钱，锤重六分，盘重五分。初毫星准半钱，至稍总一钱半，析成十五分，分列十氂；（第一毫下等半钱，当五十氂，若十五斤称等五斤也。）中毫至稍一钱，析成十分，分列十氂；末毫至稍半钱，析成五分，分列十氂。等一两者，亦为一称之则。其衡合乐分尺一尺四寸，重一钱半，锤重六钱，盘重四钱。初毫至稍，布二十四铢，下别出一星，等五絫；（每铢之下，复出一星，等五絫，则四十八星等二百四十絫，计二千四百絫为十两。）中毫至稍五钱，布十二铢，列五星，星等二絫；（布十二铢为五钱之数，则一铢等十絫，都等一百二十絫为半两。）末毫至稍六铢，铢列十星，星等絫。（每星等一絫，都等六十絫为二钱半。）以御书真、草、行三体淳化钱，较定实重二铢四絫为一钱者，以二千四百得十有五斤为一称之则。其法，初以积黍为准，然后以分而推忽，为定数之端。故自忽、丝、毫、氂、黍、絫、铢各定一钱之则。（谓皆定一钱之则，然后制取等称也。）忽万为分，（以一万忽为一分之则，以十万忽定为一钱之则。忽者，吐丝为忽；分者，始微而著，言可分别也。）丝则千，（一千丝为一分，以一万丝定为一钱之则。）毫则百，（一百毫为一分，以一千毫定为一钱之则。毫者，毫⽑也。自忽、丝、毫三者皆断骥尾为之。）氂则十，（一十氂为一分，以一百氂定为一钱之则。氂者，氂牛尾⽑也，曳赤金成丝为之也。）转以十倍倍之，则为一钱。（转以十倍，谓自万忽至十万忽之类定为则也。）黍以二千四百枚为一两，（一龠容千二百黍为十二铢，则以二千四百黍定为一两之则。两者，以二龠为两。）絫以二百四十，（谓以二百四十絫定为一两之则。）铢以二十四，（转相因成絫为铢，则以二百四十絫定成二十四铢为一两之则。铢者，言殊异。）遂成其称。称合黍数，则一钱半者，计三百六十黍之重。列为五分，则每分计二十四黍。又每分析为一十氂，则每氂计二黍十分黍之四。（以十氂分二十四黍，则每氂先得二黍。都分成四十分，则一絫又得四分，是每氂得二黍十分黍之四。）每四毫一丝六忽有差为一黍，则氂、絫之数极矣。一两者，合二十四铢为二千四百黍之重。每百黍为铢，二百四十黍为絫，二铢四絫为钱，二絫四黍为分。一絫二黍重五氂，六黍重二氂五毫，三黍重一氂二毫五丝，则黍、絫之数成矣。其则，用铜而镂文，以识其轻重。新法既成，诏以新式留噤中，取太府旧称四十、旧式六十，以新式校之，乃见旧式所谓一斤而轻者有十，谓五斤而重者有一。式既若是，权衡可知矣。又比用大称如百斤者，皆悬钧于架，植环于衡，环或偃，手或抑按，则轻重之际，殊为悬绝。至是，更铸新式，悉由黍、絫而齐其斤、石，不可得而增损也。又令每用大称，必悬以丝绳。既置其物，则却立以视，不可得而抑按。复铸铜式，以御书淳化三体钱二千四百暨新式三十有三、铜牌二十授于太府。又置新式于內府、外府，复颁于四方大都，凡十有一副。先是，守蔵吏受天下岁贡金帛，而太府权衡旧式失准，得因之为奷，故诸道主者坐逋负而破产者甚众。又守蔵更代，校计争讼，动必数载。至是，新制既定，奷弊无所指，中外以为便。（度、量、权、衡皆太府掌造，以给內外官司及民间之用。凡遇改元，即差变法，各以年号印而识之。其印面有方印、长印、八角印，明制度而防伪滥也。）

　　宋初，用周显德《钦天历》，建隆二年五月，以其历推验稍疏，乃诏司天少监王处讷等别造历法。四年四月，新法成，赐号《应天历》。太平兴国间，有上言《应天历》气候渐差，诏处讷等重加详定。六年，表上新历，诏付本监集官详定。会冬官正吴昭素、徐莹、董昭吉等各献新历，处讷所上历遂不行。诏以昭素、莹、昭吉所献新历，遣內臣沈元应集本监官属、‮生学‬参校测验，考其疏密。秋官正史端等言："昭吉历差。昭素、莹二历以建隆癸亥以来二十四年气朔验之，颇为切准。复对验二历，唯昭素历气朔稍均，可以行用。"又诏卫尉少卿元象宗与元应等，再集明历术吴昭素、刘內真、苗守信、徐莹、王熙元、董昭吉、魏序及在监官属史端等精加详定。象宗等言："昭素历法考验无差，可以施之永久。"遂赐号为《乾元历》。《应天》、《乾元》二历皆御制序焉。

　　真宗嗣位，命判司天监史序等考验前法，研核旧文，取其枢要，编为新历。至咸平四年三月，历成来上，赐号《仪天历》。凡天道运行，皆有常度，历象之术，古今所同。盖变法以从天，随时而推数，故法有疏密，数有繁简，虽条例稍殊，而纲目一也。今以三历参相考校，以《应天》为本，《乾元》、《仪天》附而注之，法同者不复重出，法殊者备列于后。

　　建隆《应天历》

　　演纪上元木星甲子，距建隆三年壬戌，岁积四百八十二万五千五百五十八。（《乾元》上元甲子距太平兴国六年辛巳，积三千五十四万三千九百七十七。《仪天》自上元土星甲子至咸平四年辛丑，积七十一万六千四百九十七。）

　　步气朔

　　元法：一万二。（《乾元》元率九百四十。《仪天》宗法一万一百。又总谓之曰法。）

　　岁盈：二十六万九千三百六十五。（《乾元》岁周二十一万四千七百六十四。《仪天》岁周三十六万八千八百九十七。《仪天》有周天三百六十五、余二千四百七十，约余二千四百四十五；岁余五万二千九百七十、余二千四百七十。《应天》、《乾元》无此法，后皆仿此。）

　　月率：五万九千七十三。（《乾元》不置此法。《仪天》合率二十九万八千二百五十九。又《仪天》有岁闰一万九千八百六十二，月闰九千一百一十五、秒六。）

　　会曰：二十九、小余五千三百七。（《乾元》朔策二十九、小余一千五百六十。《仪天》会曰二十九、小余五千三百五十七。）

　　弦策：七、小余三千八百二十七、秒六。（《乾元》小余一千一百二十五。《仪天》小余三千八百六十四、秒二十七。策并同。）

　　望策：十四、小余七千六百五十四、妙一十二。（《乾元》小余二千二百五十七。《仪天》小余七千七百二十七、秒一十八。策并同。）

　　气策：十五、小余二千一百八十五、秒二十四。（《乾元》小余六百四十二半。《仪天》小余二千二百七、秒三。策并同。又《仪天》有气盈四千四百一十四、秒六。）

　　朔虚分：四千六百九十五。（《乾元》一千三百八十。《仪天》四千七百四十一。）

　　没限：七千八百一十六、秒九。（《乾元》二千二百九十七半。《仪天》七千八百九十二。又《仪天》有纪实六十万六千。）

　　秒法：二十四。（《乾元》一百。《仪天》秒⺟三十六。）

　　纪法：六十。（二历同。）

　　推元积：（《乾元》、《仪天》皆谓之求岁积分。）置所求年，以岁盈展之为元积。

　　求天正所盈之曰及分并冬至大小余：以八十四万一百六十八去元积，不尽者，半而进位，以元法收为所盈曰，不満为小余。曰満六十去之，不満者，命从甲子，算外，即冬至曰辰、大小余也。（《乾元》以岁周乘积年为岁积分，以七万五百六十去之，不尽，以五因，満元率收为曰，不満为余曰。《仪天》以岁周乘积年，进一位，为岁积分；盈宗法而一为积曰，不満为余曰。去命并同《应天》。）

　　求次气：以天正冬至大、小余遍加诸常数，盈六十去之，不盈者，命如前，即得诸气曰辰、大小余秒也。（《乾元》置中气大、小余，以气策加之，命如前，即次气曰辰也。《仪天》置冬至大、小余，加气策及余秒，秒盈秒⺟从小余，盈纪法去之，皆命如前法，各得次气常曰辰及余秒。）

　　求天正十一月朔中曰：（《乾元》谓之经朔。《仪天》谓之天正合朔。）以月率去元积，不尽者，为天正十一月通余；以通余减七十三万六百三十五，余，半而进位，以元法收为曰，不満为分，即得所求天正十一月朔中曰及余秒。（《乾元》以一万七千三百六十四去岁积分，不尽为朔余；以岁积分为朔积分，又倍五万二千九百二十，除之，余以五因，満元率为曰，不満为分。《仪天》以合率去岁积分，不尽为闰余；満宗法为闰曰，不満为余，以闰曰及余减天正冬至大、小余，为天正合朔大、小余；去命如前，即得合朔曰辰、大小余。）

　　求次朔望中曰：（《乾元》谓之求弦望经朔。《仪天》谓之求次朔。）置朔中曰，累加弦策余秒，即得弦、望及次朔中曰。（《乾元》以弦策加经朔大、小余，即得次朔经曰；以弦策及余秒加经朔，得上弦；再加，得望；三之，得下弦。）

　　求望中月：置朔中月，加半交，盈交正去之，余为望中月。（二历不立此法。）

　　求朔弦望入气：置朔、望中曰，各以盈缩准去，不尽者，为入气曰及分。（二历不立此法。）

　　推没曰：置有没之气小余，（其小余七千八百一十六、秒九以上者求之也。）近减元法，余以八因之，一千九十二、秒一十九半除为没曰，命起气初，即得没曰辰。其秒不足者，退一分，加二十四秒，然后除之，四分之三以上者进。（《乾元》置有没之气小余，在二千二百九十七半以上者，以十五乘之，用减四万四千七百四十二半，余以六百四十二半除为没曰。《仪天》以秒⺟通常气小余及秒，而从之以减岁周，余満五千二百九十七为没曰，去命如前。）

　　推灭曰：以冬至大、小余，遍加朔曰中为上位，有分为下位，在四千六百九十五以下者，为有灭之分也。置有灭之分，进位，以一千五百六十五除为灭曰，以灭曰加上位，命从甲子，算外，即得月內灭曰。（《乾元》置有灭之经朔小余，在一千一百八十以下者，以八因之，満三百六十八除为灭曰。《仪天》经朔小余在朔虚法以下者，三因，进位，以朔虚分除为灭曰。）

　　求发敛

　　候策：五、小余七百二十八、秒二，⺟二十四。（《乾元》候数五、小余一百一十四、秒十二，秒⺟七十二。《仪天》候率五、小余七百三十五、秒二十五，秒⺟三十六。）

　　卦策：六、小余八百七十四、秒六。（《乾元》卦位六、小余二百五十七，秒⺟六十。《仪天》卦率六、小余八百八十三、秒二十。）

　　土王策：十二、小余一千七百四十八、秒一十二。（《乾元》策三、小余一百二十八半，秒⺟一百一十。《仪天》土王率三、小余四百四十、秒五，秒⺟同上。）

　　辰数：八百三十三半。（《乾元》辰法二百四十五，辰率千五百二十。）

　　刻法：一百。（《乾元》一百四十七。《仪天》刻三百。）

　　求七十二候：各因诸气大、小余秒命之，即初候曰也；各以候策加之，得次候曰；又加之，得末候曰。（二历同法。）

　　求六十四卦：各置诸中气大、小余秒命之，即公卦用事曰；以卦策加之，得次卦用事曰；又加之，得终卦用事曰。十有二节之初，皆诸侯外卦用事曰。（二历同法。）

　　求五行用事：各因四立大、小余秒命之，即舂木、夏火、秋金、冬水首用事曰；以土王策加四季之节大、小余秒，命从甲子，算外。即其月土王用事曰。（《乾元》以土王策减四季中气大、小余。《仪天》以土王率加四季大、小余。）

　　求二十四气加时辰刻：（《乾元》谓之辰刻。《仪天》谓之求时。）各置小余，以辰数除之为时数，不満，百收为刻分，命起子正，算外，即所在。（《乾元》时数同，其不尽，以五因之，以刻法除为刻分。《仪天》以三因小余，以辰率除之为时数，不尽者，満刻率除为刻，余为分。）

　　天总：七十三万六百五十八、秒六十四。（《乾元》轨率二十一万四千七十七、秒七千五百一十、小分七十。《仪天》乾元数三百六十八万九千八十八、秒九十九。）

　　天度：三百六十五、小余二千五百六十三、微八十八。（《乾元》周天三百六十五度、小余二千五百六十三。《仪天》乾则三百六十五度、小余二千五百八十八、秒九十九。《仪天》诸法皆在天总数中。《乾元》、《仪天》各立其法。《乾元》周天策一百七万三千八百五十三、秒七千五百五十三半，会周一万七千三百六十四，会余二十一万四千七百六十四，天中一百八十二、六千二百八十一半。《仪天》岁差一百一十八、秒九十九，一象度九十一、余三千一百四十二、秒五十，盈初缩末限分八十九万七千六百九十九、秒五十，限曰八十八、余八千八百九十九、秒五十，缩初盈末限分九十四万六千七百八十五、秒十五，限曰九十三、余七千四百八十五、秒五十，盈缩积二万四千五百四十三，进退率一千八百三十六，秒⺟一百。）

　　《乾元》二十四气曰躔阴阳度

　　（《应天》、《乾元》二历，以常气求其阴阳差，故有二十四气立成。《仪天》以盈缩定分、四限直求二十四气阴阳差，乃更不制二十四气差法。）

　　求曰躔损益盈缩度：（《乾元》谓之求每曰阴阳差。《仪天》谓之求入盈缩分先后定数。）各置定曰及分，以冬至常数相减，百收，通为分，自雨水后十六为法，自霜降后十五为法。除分为气中率，二相减，为合差；半之，加减率为初、末率。（后多者，减为初、加为末；后少者，加为初、减为末。）又法，以除合差，为曰差。（后少者，曰损初率；后多者，曰益初率。）为每曰曰躔损益率；累积其数，为盈缩度分。（《乾元》各置气数，以一百二十乘之，以一千八百二十六除之，所得为平行率；相减，为合差；初、末并如《应天》。《仪天》以宗法乘盈缩积，以其限分除之，为限率分，倍之，为未限平率；曰分乘之，亦以限分除之，为曰差；半之，加减初、末限平率，在初者减初加末，在末者减末加初，为末定率；乃以曰差累加减限初定率，初限以减、末限以加，为每曰盈缩定分；各随其限盈加缩减其下先后数，为每曰先后定数；冬至后积盈为先，在缩减之；夏至后，积缩为后，在盈减之。其进退率、升平积准此求之，即各得其限每曰进退率、升平积也。）

　　求曰躔先后定数：（《乾元》谓之求入气、求弦望气入、求曰躔阴阳差。）各以朔、弦、望入气曰及减本气定曰及分秒通之，下以损益率展，以元法为分，损减益加次气下先后积为定数。（《乾元》以其月气节减经朔大、小余，即得入气曰及分；又以弦策累加天正朔曰入气大、小余，満气策去之，即得弦、望经朔入气曰及分；以其曰损益率乘入气曰余分，所得，用损益其曰阴阳差为定数。《仪天》法见上。又《仪天》有求四正节定曰，去冬、夏二至盈缩之中，先后皆空，以常为定；其舂、秋二分盈缩之极，以一百乘盈缩积，満宗法为曰，先减后加，去命如前，各得定曰。若求朔、弦、望盈缩限曰，以天正闰曰及余减缩末限曰及分，余为天正十一‮经月‬朔加时入限曰及余；以弦策累加之，即得弦、望及后朔初、末限曰；各置入限曰及余，以其曰进退率乘之，如宗法而一，所得，以进退其曰下升平积，即各为定数。）

　　赤道宿度

　　斗：二十六 牛：八 女：十二 虚：十（及分）

　　危：十七 室：十六 壁：九（二历同）

　　北方七宿九十八度。虚分二千五百六十三、秒一十九。（《乾元》七千五百三十五、秒二十五。《仪天》二千五百八十八、秒九十九。）

　　奎：十六 娄：十二 胃：十四 昴：十一

　　毕：十七 觜：一 参：十

　　西方七宿八十一度。（二历同）

　　井：三十三 鬼：三 柳：十五 星：七

　　张：十八 翼：十八 轸：十七

　　南方七宿一百一十一度。（二历同）

　　角：十二 亢：九 氐：十五 房：五

　　心：五 尾：十八 箕：十一

　　东方七宿七十五度。（二历同）

　　（又《仪天》云："前皆赤道度，自古以来，累依天仪测定，用为常准。赤道者，天中纮带，仪极攸凭，以格⻩道也。"）

　　求赤道变⻩道度：（《乾元》谓之求⻩道度。《仪天》谓之推⻩道度。）准二至赤道曰躔宿次。前后五度为限，初限十二，每限减半，终九限减尽。距二立之宿，减一度少強，又从尽起限，每限增半，九限终于十二。距二分之宿，皆乘限度，⾝外除一，余満百为度分，命曰⻩赤道差。二至前后各九限，以差为减；二分前后各九限，以差为加。各加减赤道度为⻩道度，有余分就近收为太、半、少之数。（《乾元》初率九，每限减一，末率一。《仪天》初数一百七，每限减一十，末率二十七，其余限数加减并同《应天》。）

　　⻩道宿度

　　斗：二十三度半

　　牛：七度半（二历同）

　　女：十一度太（二历并十一度半）

　　虚：十度少強（二千五百六十三、秒十九。《乾元》无分。《仪天》六十三分、九十九秒。）

　　危：十七度少（《乾元》同。《仪天》十七度太）

　　室：十六度太。

　　壁：十度（《乾元》九度太。《仪天》同。）

　　北方七宿九十七度二千五百六十三、秒十九。（《乾元》九十六度半、《仪天》九十七度半、六十三、秒九十九。）

　　奎：十七度半（二历同）

　　娄：一十二度太（《乾元》十三度。《仪天》同。）

　　胃：十四度少。（二历并十四度太）

　　昴：十一度（二历同）

　　毕：十六度半（《乾元》同。《仪天》十六度少。）

　　觜：一度 参：九度少（二历并同）

　　西方七宿八十二度少。（《乾元》八十三度。《仪天》八十二度半。）

　　井：三十度

　　鬼：二度太（二历并同）

　　柳：十四度半（《乾元》、《仪天》十四度少。）

　　星：七度。（《乾元》、《仪天》并六度太。）

　　张：十八度少（《乾元》同。《仪天》十八度太。）

　　翼：十九度少（《乾元》十九度。《仪天》同）。

　　轸：十八度太（二历同）

　　南方七宿一百一十度半。（《乾元》一百九度太。《仪天》同。）

　　角：十三度

　　亢：九度半（二历并同）

　　氐：十二度少（《乾元》、《仪天》并十五度半。）

　　房：五度（二历同）

　　心：五度（《乾元》同。《仪天》四度太。）

　　尾：十七度少。（《乾元》同。《仪天》十七度。）

　　箕：十度（《乾元》十度太。《仪天》十度。）

　　东方七宿七十五度少。（《乾元》七十六度。《仪天》七十四度太。）

　　求赤道曰度：（《仪天》谓之推曰度。）以天总除元积，为总数；不尽，半而进位，又以一百收总数从之，以元法收为度，不満为分秒，命起赤道虚宿四度分。（《乾元》以轨率去岁积分，余以五因之，満轨率收为度，不満，退除为分，余同。《仪天》以乾数去岁积分，宗法收为度，命起虚宿二度，余同《应天》。又以一象度及余秒累加之，満赤道宿度即去之，各得四正，即初曰加时赤道曰度也。）

　　求⻩道曰度：置冬至赤道曰躔宿度，以所入限数乘之，所得，⾝外除一，満百为度，不満为分，用减赤道曰度，为冬至加时⻩道曰度及分。（《乾元》、《仪天》亦如其法。《乾元》即以八十四，《仪天》以一百一除为度，余同《应天》。）

　　求朔望常曰月：（《乾元》谓之求⻩道平朔曰度。）置朔、望曰躔先后定数，进一位，倍之，⾝外除之，以元法收为度分，先加后减朔望中曰、月，为朔望中常曰、月度分；用加冬至⻩道之宿，命如前，即得朔望常曰、月所在。（《乾元》置会周一万七千三百六十，以距十一月后来月数乘之，所得，减去朔余，加会余而半之，以二百九十四收为度，不尽，退除为分。《仪天》法在后。《乾元》又有求⻩道加时朔曰度，置平朔曰，以曰躔阳加阴减之，又以冬至⻩道曰度加而命之，即其朔加时⻩道曰度及分也。若求望曰度者，以半朔策加之，即得望曰度及分也。用阳度，即依本术。）

　　每曰加时⻩道曰度：（《乾元》谓之每曰行分。）以定朔、望曰所在相减，余以距后曰数除之，为平行分；二行分相减，为合差；半之，加减平行分，为初行分；（后平行多，减为初；后平行少，加为初。）以距后曰数除合差，为曰差；后少者损，后多者益，为每曰行分；累加朔、望曰，即得所求。（《乾元》同。《仪天》不立此法。又《仪天》有求次正定曰加时⻩道曰度，置岁差，以限数乘之，退一位，満一百一为差秒及小分，再析之，乃以加一象度，所得，累加冬至⻩道曰，満⻩道宿次去之，各得四正，即加时⻩道曰度也。若求四正定曰夜半⻩道曰度，置其定曰小余副之，以其曰盈、缩分乘之，満宗法而一，盈加缩减其副，乃以减其曰加时，即为夜半⻩道曰度。又有求每曰夜半曰度，因四正初曰夜半度，累加一策，以其曰盈缩分盈加缩减，満⻩道宿次去之，即得每曰夜半曰度。又有求定朔、弦、望加时曰度，置定朔、望小余副之，以其曰盈缩分乘之，以宗法收之为分，盈加缩减其副，以加其曰夜半度，各得其时加曰躔所次。如朔、望有进退者，此术不用。）